Question

已知圆C：x²+y²+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0交于P，Q两点，以PQ为直径的圆经过圆点，求圆C的圆心和半径．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：把圆的方程和直线的方程联立方程组，利用韦达定理，再根据

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=0，求得m的值，可得圆C的圆心和半径．

解答： 解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题意可得OP⊥OQ，即

OP

•

OQ

=0．
由

x+2y-3=0 x2+y2+x-6y+m=0

可得：5x²+2x+4m-27=0，∴x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

4m-27

5

．
再根据

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+

1

4

（3-x₁）（3-x₂）=

5

4

 x₁x₂-

3

4

（x₁+x₂）+

9

4

=0，
结合前面根与系数关系表达式，代入得：

5

4

•

4m-27

5

+

3

2

+

9

4

=0，解之得m=3．
故圆C：x²+y²+x-6y+3=0 即 (x-

1

2

)2+（y-3）²=

25

4

，故圆心为（

1

2

，3），半径为

5

2

．

点评：本题给出直线与圆相交于点P、Q，并且以PQ为直径的圆恰好经过坐标原点O，求参数的值．着重考查了直线方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．