Question

8．数列{a_n}中，a_n+2-2a_n+1+a_n=1（n∈N^*），a₁=1，a₂=3．．
（1）求证：{a_n+1-a_n}是等差数列；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）令c_n=a_n+1-a_n，通过c_n+1-c_n=1，说明{a_n+1-a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）知c_n=n+1，求出a_n，化简$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）．利用裂项求和求解即可．

解答 解：（1）证明：令c_n=a_n+1-a_n，
则c_n+1-c_n=（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=a_n+2-2a_n+1+a_n=1（常数），
c₁=a₂-a₁=2，
故{a_n+1-a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．    …（4分）
（2）由（1）知c_n=n+1，即a_n+1-a_n=n+1，
于是a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=
=n+（n-1）+…+2+1=$\frac{n（n+1）}{2}$，…（8分）
故$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）．
∴S_n=2（1-$\frac{1}{2}$）+2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+2（$\frac{1}{3}$-）+…+2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{2n}{n+1}$．      …（12分）

点评 本题考查数列求和，等差数列的判断，考查计算能力．