Question

11．已知圆O：x²+y²=16及圆内一点F（-3，0），过F任作一条弦AB．
（1）求△AOB面积的最大值及取得最大值时直线AB的方程；
（2）若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平方线，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）设∠AOB=θ，则${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|OA|•|OB|sinθ=\frac{1}{2}×4×4×sinθ=8sinθ$，即可求△AOB面积的最大值及取得最大值时直线AB的方程；
（2）分类讨论，由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+3）\\{x^2}+{y^2}=16\end{array}\right.$得：（1+k²）x²+6k²x+（9k²-16）=0，利用∠BMF=∠AMF，k_BM+k_AM=0，即可得出结论．

解答 解：（1）设∠AOB=θ，则${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|OA|•|OB|sinθ=\frac{1}{2}×4×4×sinθ=8sinθ$，
当$θ=\frac{π}{2}$时，S_△AOBmax=8，此时O到AB的距离为$2\sqrt{2}＜3$，${k_{AB}}=±2\sqrt{2}$，
∴S_△AOBmax=8，直线AB的方程为$y=±2\sqrt{2}（x+3）$．
（2）当直线AB斜率不存在时，MF始终平分∠AMB．
当直线AB斜率存在时，设直线AB：y=k（x+3），（k≠0），设M（m，0），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+3）\\{x^2}+{y^2}=16\end{array}\right.$得：（1+k²）x²+6k²x+（9k²-16）=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{{-6{k^2}}}{{1+{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{9{k^2}-16}}{{1+{k^2}}}$．
∵∠BMF=∠AMF，
∴k_BM+k_AM=0，${k_{BM}}+{k_{AM}}=\frac{y_1}{{{x_1}-m}}+\frac{y_2}{{{x_2}-m}}=\frac{{k（{x_1}+3）}}{{{x_1}-m}}+\frac{{k（{x_2}+3）}}{{{x_2}-m}}=0$，
∴（x₁+3）（x₂-m）+（x₂+3）（x₁-m）=0，
∴2x₁x₂+（3-m）（x₁+x₂）-6m=0，
∴$2×\frac{{9{k^2}-16}}{{1+{k^2}}}+（3-m）×\frac{{-6{k^2}}}{{1+{k^2}}}-6m=0$，
∴-32-6m=0，$m=-\frac{16}{3}$，
∴$M（-\frac{16}{3}，0）$．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．