Question

5．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃=-9，a₄+a₆=a₅．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a${\;}_{n}+{2}^{{a}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件列出方程，求出数列的首项与公差，然后推出通项公式．
（2）利用拆项法，分别求解等差数列以及等比数列的和即可．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，则由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}×d=-9}\\{{a}_{1}+3d+{a}_{1}+5d={a}_{1}+4d}\end{array}\right.$…（3分）
解得a₁=-4，d=1，…（5分）
∴a_n=-4+1×（n-1）=n-5．   …（6分）
（2）T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n+${2}^{{a}_{1}}+{2}^{{a}_{2}}+…+{2}^{{a}_{n}}$
=$\frac{n（-4+n-5）}{2}+\frac{1}{32}（{2}^{1}+{2}^{2}+{2}^{3}+…+{2}^{n}）$  …（10分）
=$\frac{n（n-9）}{2}+\frac{1}{32}×\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=$\frac{n（n-9）}{2}+\frac{{2}^{n}-1}{16}$．…（12分）

点评 本题考查等差数列以及等比数列的和求法，通项公式的应用，考查转化思想以及计算能力．