Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面.已知，，，.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）在线段上是否存在一点，使？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；的长为1

【解析】

（1）的中点，连接，连接，连接，由面面垂直性质可知平面；结合余弦定理、勾股定理可知，从而以，，所在直线为,，轴建立空间直角坐标系，可求出的法向量为，由可求出，从而可求出直线与平面所成角的正弦值.

（2）设线段上的点，且，通过可求出，由可得，从而可知即可求出的值，即可求出的长.

解：（1）取的中点，连接，，，且，

侧面底面，且侧面底面，平面，

平面，连接，在中，由余弦定理可知

，得.

由 可得，连接，可知，且.

则以为坐标原点，分别以，，所在直线为,，轴建立空间直角坐标系.

则：，，，，.

所以，.设平面的法向量为，

由，取，得；又，

.

设直线与平面所成角为，则.

直线与平面所成角的正弦值为；

（2）设线段上的点，且，.由，

则，解得，

则，，要使，则，

即，得，此时.

故线段的中点满足，此时的长为1.