Question

13．已知a是函数$f（x）={（{\frac{1}{3}}）^x}+{log_{\frac{1}{3}}}x$的零点，若0＜x₀＜a，则f（x₀）的值满足（　　）

• A． f（x₀）=0
• B． f（x₀）＜0
• C． f（x₀）＞0
• D． f（x₀）的符号不确定

Answer 1

分析 根据题意，a是函数$f（x）={（{\frac{1}{3}}）^x}+{log_{\frac{1}{3}}}x$的零点，函数$f（x）={（{\frac{1}{3}}）^x}+{log_{\frac{1}{3}}}x$是减函数，本题根据函数的单调性和零点的性质进行求解．

解答 解：∵函数$f（x）={（{\frac{1}{3}}）^x}+{log_{\frac{1}{3}}}x$在（0，+∞）上是减函数，
a是函数$f（x）={（{\frac{1}{3}}）^x}+{log_{\frac{1}{3}}}x$的零点，即f（a）=0，
∴当0＜x₀＜a时，f（x₀）＞0，
故选：C．

点评 本题主要考查了函数零点的判定定理，函数$f（x）={（{\frac{1}{3}}）^x}+{log_{\frac{1}{3}}}x$是减函数，单调函数最多只有一个零点，是解题的关键．