Question

已知关于x的方程cos²x-sin²x-2sinx+2a+1=0在区间（0，

π

2

]内有解，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-1.1]
• B、（-1，1）
• C、[0，1）
• D、[-1，0）

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的图像与性质,不等式的解法及应用

分析：由于x∈（0，

π

2

]，则0＜t=sinx≤1．由题意可得方程t²+t-a-1=0 在（0，1]上有解，函数f（t）=t²+t的对称轴为t=-

1

2

，可得f（t）的值域，由0＜a+1≤2，即可得到a的范围．

解答： 解：方程cos²x-sin²x-2sinx+2a+1=0，
即-2sin²x-2sinx+2a+2=0．
由于x∈（0，

π

2

]，∴0＜t=sinx≤1．
故方程-t²-t+a+1=0 在（0，1]上有解．
即为a+1=t²+t在（0，1]上有解．
二次函数f（t）=t²+t的对称轴为t=-

1

2

∉（0，1]，
（0，1]为增区间，则f（t）∈（0，2]，
由0＜a+1≤2，
解得-1＜a≤1．
故选：A．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，考查二次函数在闭区间上的最值问题，体现了转化的数学思想．