Question

如图，AB是⊙O的直径 ，AC是弦 ，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E.OE交AD于点F.

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若，求的值.

 

Answer 1

 解：（1）证明：连接OD，∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．----------5分

（2）连接BC交OD于G，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
设AC=4a，AB=5a，由勾股定理得：BC=3a，∴OA=OD=OB=2.5a，
∵∠ECG=90°=∠DEC=∠EDG，∴四边形ECGD是矩形，
∵OG为△ABC中位线，∴G为BC中点∴DE=CG=1.5a，∵OD∥AE，OA=OB，
∴CG=BG，∴OG=AC=2a，∴DG=EC=2.5a-2a=0.5a，∴AE=AC+CE=4a+0.5a=4.5a，
∵OD∥AC，∴△AEF∽△DOF，∴

                   ----------10分