Question

13．设点P在双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F₁，F₂，若|PF₁|=4|PF₂|，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． $（{1，\frac{5}{3}}]$
• B． （1，2]
• C． $[{\frac{5}{3}，+∞}）$
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=3|PF₂|=2a，再根据点P在双曲线的右支上，可得|PF₂|≥c-a，从而求得此双曲线的离心率e的取值范围．

解答 解：∵|PF₁|=4|PF₂|，
∴由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=3|PF₂|=2a，
∴|PF₂|=$\frac{2}{3}$a，
∵点P在双曲线的右支上，
∴|PF₂|≥c-a，
∴$\frac{2}{3}$a≥c-a，即$\frac{5}{3}$a≥c，
∴e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{5}{3}$，
∵e＞1，
∴1＜e≤$\frac{5}{3}$，
∴双曲线的离心率e的取值范围为（1，$\frac{5}{3}$]．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．