题目内容
6．设数列an=min{k+$\frac{n}{4k}$|k∈N*），定义“优数列”：△an=an-[an]（n=1，2，…），其中[x]表示不超过x的最大整数．（1）求a1，a2，a3，a4的值；（2）探究数列{an}的单调性；
（3）探究优数列：△a1，△a2，…，△a2015中等于0的项的个数；
（4）设Sn=△a1+△a2+…+△an为优数列的前n项和，试求S2015的值．
分析 （1）由题意，取k=1可得an，则数列的a1，a2，a3，a4的值可求；
（2）直接利用作差法说明数列是递增数列；
（3）由题意可得，an=[an]，由此可知$1+\frac{n}{4}=[1+\frac{n}{4}]$，求出前2015项中是4的倍数项得答案；
（4）探究优数列的项呈4为周期周期出现，由此可得答案．
解答 解：（1）∵an=min{k+$\frac{n}{4k}$|k∈N*}，
∴k=1，${a}_{n}=1+\frac{n}{4}$．
∴${a}_{1}=\frac{5}{4}，{a}_{2}=\frac{3}{2}，{a}_{3}=\frac{7}{4}，{a}_{4}=2$；
（2）∵${a}_{n}=1+\frac{n}{4}$，
∴${a}_{n}-{a}_{n-1}=1+\frac{n}{4}-1-\frac{n-1}{4}=\frac{1}{4}＞0$，
∴an＞an-1．
∴数列{an}单调递增；
（3）△an=an-[an]，
令△an=0，得an=[an]，
∴$1+\frac{n}{4}=[1+\frac{n}{4}]$，
n=4、8、12、…等4的倍数，
∴2015÷4=503余3．
∴△a1，△a2，…，△a2015中等于0的项的个数是503项；
（4）由△an=an-[an]，可得T=4出现0．
当n≤4时，△a1=$\frac{1}{4}$，△a2=$\frac{2}{4}$，△a3=$\frac{3}{4}$，△a4=0；
当4＜n≤8时，△a5=$\frac{1}{4}$，△a6=$\frac{2}{4}$，△a7=$\frac{3}{4}$，△a8=0；
…
当2012＜n≤2015时，△a2013=$\frac{1}{4}$，△a2014=$\frac{2}{4}$，△a2015=$\frac{3}{4}$．
∴${S}_{2015}=504×（\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}）=756$．
点评 本题考查数列的应用，关键是对新定义的理解，探究优数列规律性的出现是解答该题的关键，是难题．
| A． | 相交 | B． | 相切 | C． | 相交或相切 | D． | 不能确定 |