Question

已知数列{a_n}的通项公式a_n=3n-2
（1）求（x-2y+3z） a3展开式中形如Ax⁴yz^t的项的系数A；
（2）记b_n=

1

3

（a_n+2），求证：（C

0 bn

）²+（C

1 bn

）²+（C

2 bn

）²+…+（C

bn 2bn

）²=C

bn 2bn

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）根据数列{a_n}的通项公式a_n=3n-2，可得a₃=7，
故（x-2y+3z）⁷的 展开式中形如Ax⁴yz^t的项的系数A为（

C

4 7

×1）•

C

1 3

×(-2)•（

C

2 2

×3²）．
（2）b_n=

1

3

（a_n+2）=n，则等式的左边为（

C

0 n

）²+（

C

1 n

）²+（

C

2 n

）²+…+（

C

n 2n

）²．
比较（a+b）ⁿ（a+b）ⁿ=（a+b）²ⁿ两边aⁿbⁿ项的系数可得（

C

0 n

）²+（

C

1 n

）²+（

C

2 n

）²+…+（

C

n 2n

）²=

∁

n 2n

．

解答： （1）解：根据数列{a_n}的通项公式a_n=3n-2，可得a₃=7，
故（x-2y+3z）⁷的 展开式中形如Ax⁴yz^t的项的系数A为（

C

4 7

×1）•

C

1 3

×(-2)•（

C

2 2

×3²）=-1890．
（2）证明：b_n=

1

3

（a_n+2）=n，则等式的左边为（

C

0 n

）²+（

C

1 n

）²+（

C

2 n

）²+…+（

C

n 2n

）²．
比较（a+b）ⁿ（a+b）ⁿ=（a+b）²ⁿ两边aⁿbⁿ项的系数可得左边=（

C

0 n

）²+（

C

1 n

）²+（

C

2 n

）²+…+（

C

n 2n

）²=

∁

n 2n

．

点评：本题考查了数列的通项公式、二项式定理及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．