Question

已知向量

a

=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量

b

=（

3

，-1），若|2

a

-

b

|＜m恒成立，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：由条件利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，化简|2

a

-

b

|的解析式为

8-8cos(θ+ π 6 )

，再根据θ∈[0，π]，利用余弦函数的定义域和值域求得|2

a

-

b

||的最大值，可得m的范围．

解答： 解：由题意可得，|2

a

-

b

|=

(2 a - b )2

=

4 a 2-4 a • b + b 2

=

4-4( 3 cosθ-sinθ)+4

=

8-8( 3 2 cosθ- 1 2 sinθ)

=

8-8cos(θ+ π 6 )

．
∵θ∈[0，π]，∴θ+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴cos（θ+

π

6

）∈[-1，

3

2

]，
∴|2

a

-

b

|的最大值为4．
若|2

a

-

b

|＜m恒成立，则 m＞4，
故答案为：（4，+∞）．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．