Question

已知函数f（x）=2^x-2^-x（x∈R），
（1）求证：函数f（x）是R上的增函数；
（2）若x满足条件2 x2≤（

1

2

）^x-2，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）运用定义判断f（x₁）-f（x₂）=（2 x1-2x2）（1+

1

2x1+x 2

）＜0，即可．
（2）解不等式得出-2≤x≤1，f（-2）=-

15

4

，f（1）=2-

1

2

=

3

2

，根据单调性求解即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=2^x-2^-x（x∈R），
∴设x₁＜x₂，0＜2 x1＜2 x2，f（x₁）-f（x₂）=（2 x1-2x2）（1+

1

2x1+x 2

）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）是R上的增函数；
（2）∵2 x2≤（

1

2

）^x-2，
∴2 x2≤2^2-x，
即x²≤2-x，
x²+x-2≤0，
-2≤x≤1，
∴f（x）=2^x-2^-x（-2≤x≤1），
f（-2）=-

15

4

，f（1）=2-

1

2

=

3

2

，
函数f（x）的值域：[-

15

4

，

3

2

]

点评：本题考查了运用定义法判断函数的单调性，运用单调性求解函数的值域，属于中档题．