题目内容
根据统计资料，某工厂的日产量不超过20万件，每日次品率p与日产量x（万件）之间近似地满足关系式p=
，已知每生产1件正品可盈利2元，而生产1件次品亏损1元，（该工厂的日利润y=日正品盈利额-日次品亏损额）．
（1）将该过程日利润y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）当该工厂日产量为多少万件时日利润最大？最大日利润是多少元？
|
（1）将该过程日利润y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）当该工厂日产量为多少万件时日利润最大？最大日利润是多少元？
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用
专题：导数的综合应用
分析：本题（1）根据题中的数量关系构造日利润y（万元）表示为日产量x（万件）的分段函数，得到本题结论；（2）利用导函数得到原函数的单调区间，从而研究函数的最值，得到本题结论．
解答：
解：（1）由题意知：
当0＜x≤12时，
y=2x（1-p）-px，
∴y=2x(1-
)-
=
x-
，
当12＜x≤20时，
y=2x（1-p）-px，
=2x（1-
）-
x=
x．
∴y=
．
（2）①当0＜x≤12时，
y′=
x-
=
=
，
当0＜x＜10时，y′＞0，
当10＜x≤12时，y′＜0．
当x=10时，y′=0，
∴当x=10时，y取极大值
．
②当12＜x≤20时，
y=
x≤10，
∴当x=20时，y取最大值10．
∵
＞10，
∴由①②知：当x=10时，y取最大值
．
∴该工厂日产量为10万件时，该最大日利润是
万元．
当0＜x≤12时，
y=2x（1-p）-px，
∴y=2x(1-
| x2+60 |
| 540 |
| x3+60x |
| 540 |
| 5 |
| 3 |
| x3 |
| 180 |
当12＜x≤20时，
y=2x（1-p）-px，
=2x（1-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴y=
|
（2）①当0＜x≤12时，
y′=
| 5 |
| 3 |
| x2 |
| 60 |
| 100-x2 |
| 60 |
| -(x+10)(x-10) |
| 60 |
当0＜x＜10时，y′＞0，
当10＜x≤12时，y′＜0．
当x=10时，y′=0，
∴当x=10时，y取极大值
| 100 |
| 9 |
②当12＜x≤20时，
y=
| 1 |
| 2 |
∴当x=20时，y取最大值10．
∵
| 100 |
| 9 |
∴由①②知：当x=10时，y取最大值
| 100 |
| 9 |
∴该工厂日产量为10万件时，该最大日利润是
| 100 |
| 9 |
点评：本题考查了实际问题的数学建模，还考查了用导函数研究函数的最值，还考查了分类讨论的数学思想，本题难度适中，属于中档题．
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