Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．
（1）求证：BE∥平面PDF；
（2）求二面角E-AB-D的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取PD的中点M，由已知得四边形MEBF是平行四边形，由此能证明BE∥平面PDF．
（2）以A为原点，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用同向量法能求出二面角E-AB-D的大小．

解答： （1）证明：取PD的中点M，
∵E是PC的中点
∴ME是△PCD的中位线，
∴ME

∥

.

1

2

CD，
∵底面ABCD是菱形，F是AB的中点，
∴ME∥FB，且ME=FB，
∴四边形MEBF是平行四边形
∴BE∥MF
∵BE∥平面PDF，
MF?平面PDF
∴BE∥平面PDF．
（2）以A为原点，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意知P（0，0，1），C（

3

，3，0），E（

3

2

，

3

2

，

1

2

），
A（0，0，0），B（

3

，1，0），D（0，2，0），

AB

=(

3

，1，0)，

AE

=（

3

2

，

3

2

，

1

2

），

AD

=（0，2，0），
平面BAD的法向量

n

=（0，0，1），
设平面ABE的法向量

m

=(x，y，z)，
则

m • AB = 3 x+y=0 m • AE = 3 2 x+ 3 2 y+ 1 2 z=0

，
取x=

3

，得

m

=（

3

，-3，6），
∴cos＜

m

，

n

＞=

6

3+9+36

=

3

2

∴二面角E-AB-D的大小为30°．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．