Question

7．已知关于x的方程（$\frac{1}{3}$）^x=$\frac{2a+3}{5-a}$有正根．求实数a的范围．

Answer 1

分析 由指数函数y=（$\frac{1}{3}$）^x的单调性可知，当x＞0时，0＜（$\frac{1}{3}$）^x＜1，关于x的方程（$\frac{1}{3}$）^x=$\frac{2a+3}{5-a}$有正根?0＜$\frac{2a+3}{5-a}$＜1，解分式不等式可求得答案．

解答 解：当x＞0时，0＜（$\frac{1}{3}$）^x＜1，
∵关于x的方程（$\frac{1}{3}$）^x=$\frac{2a+3}{5-a}$有正根，
∴0＜$\frac{2a+3}{5-a}$＜1，
即为$\frac{2a+3}{a-5}$＜0，且$\frac{3a-2}{a-5}$＞0，
解得-$\frac{3}{2}$＜a＜5且a＞5或a＜$\frac{2}{3}$，
即有-$\frac{3}{2}$＜a＜$\frac{2}{3}$．
则有a的范围是（-$\frac{3}{2}$，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题主要考查了利用指数函数的单调性求函数的值域，分式不等式的求解，属于知识的简单综合．