Question

如图所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是矩形，AB=1，BC=

2

，AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点．
（1）求证：A₁E⊥平面AED；
（2）求二面角A-A₁D-E的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）以D₁为原点，D₁A₁为x轴，D₁C₁为y轴，D₁D为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能证明A₁E⊥平面AED．
（2）分别求出平面A₁DE的一个法向量和平面AA₁D的一个法向量，利用向量法能求出二面角A-A₁D-E的大小．

解答： （1）证明：∵在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是矩形，
∴以D₁为原点，D₁A₁为x轴，D₁C₁为y轴，D₁D为z轴，
建立如图所示空间直角坐标系．
∵AB=1，BC=

2

，AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点，
∴D（0，0，2），A（

2

，0，2），E（

2

，1，1），A1(

2

，0，0)，C₁（0，1，0），
∴

DA

=（

2

，0，0），

AE

=（0，1，-1），

A1E

=（0，1，1），
∴

A1E

•

DA

=0，

A1E

•

AE

=0，
∴A₁E⊥DA，A₁E⊥AE，
∴A₁E⊥平面AED．
（2）解：设

n

=(x，y，z) 是平面A₁DE的一个法向量，
∵

A1E

=(0，1，1)，

A1D

=（-

2

，0，2），
∴

n • A1E =y+z=0 n • A1D =- 2 x+2z=0

，
取x=1，得

n

=（

2

，-1，1），
∵

DC1

⊥平面AA₁D，∴平面AA₁D的一个法向量为

DC1

=（0，1，0），
∴cos＜

n

，

DC1

＞=

-1

2

=-

1

2

，
结合图形，可判别得二面角A-A₁D-E是锐角，它的大小为

π

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．