题目内容
已知△ABC外接圆O的半径为1，且
•
=-
．∠C=
，从圆O内随机取一个点M，若点M取自△ABC内的概率恰为
，则△ABC的形状为的形状为（ ）
| OA |
| OB |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
3
| ||
| 4π |
| A、直角三角形 |
| B、等边三角形 |
| C、钝角三角形 |
| D、等腰直角三角形 |
考点：几何概型
专题：概率与统计
分析：根据向量的数量积求得∠AOB=
，进而求得AB的长度，利用几何概型的概率公式求出三角形ABC的面积，利用三角形的面积公式即可求出三角形各边的长度即可得到结论．
| 2π |
| 3 |
解答：
解：∵
•
=-
，圆的半径为1，
∴cos∠AOB=-
又0＜∠AOB＜π，
故∠AOB=
，
又△AOB为等腰三角形，
故AB=
，
从圆O内随机取一个点，取自△ABC内的概率为
，
即
=
，
∴S △ABC=
，
设BC=a，AC=b．∵C=
，
∴
absinC=
，
得ab=3，…①
由AB2=a2+b2-2abcosC=3，得a2+b2-ab=3，a2+b2=6…②
联立①②解得a=b=
．
∴△ABC为等边三角形．
故选：B．
解：∵| OA |
| OB |
| 1 |
| 2 |
∴cos∠AOB=-
| 1 |
| 2 |
又0＜∠AOB＜π，
故∠AOB=
| 2π |
| 3 |
又△AOB为等腰三角形，
故AB=
| 3 |
从圆O内随机取一个点，取自△ABC内的概率为
3
| ||
| 4π |
即
| S△ABC |
| S圆 |
3
| ||
| 4π |
∴S △ABC=
3
| ||
| 4 |
设BC=a，AC=b．∵C=
| π |
| 3 |
∴
| 1 |
| 2 |
3
| ||
| 4 |
得ab=3，…①
由AB2=a2+b2-2abcosC=3，得a2+b2-ab=3，a2+b2=6…②
联立①②解得a=b=
| 3 |
∴△ABC为等边三角形．
故选：B．
点评：本题主要考查几何概型的应用，以及向量积的计算，利用余弦定理是解决本题的关键，本题综合性较强，有一定的难度．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
复数z=
为纯虚数，则实数a的值为（ ）
| a+i |
| 4+3i |
A、
| ||
B、-
| ||
C、
| ||
D、-
|
函数y=x+sinx，x∈[-π，π]的大致图象是（ ）
A、 |
B、 |
C、 |
D、 |
已知变量x，y满足约束条件
，则目标函数z=2x+y的最小值是（ ）
|
| A、-3 | B、-2 | C、1 | D、7 |
如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=1，BC=
“行通济”是广东佛山一带在元宵节期间举行的游玩祈福活动，每到这一天，家家户户都会扶老携幼，自清晨到夜幕，举着风车、摇着风铃、拎着生菜浩浩荡荡地由北到南走过通济桥，祈求来年平平安安、顺顺利利．为了了解不同年龄层次的人对这一传统习俗的参与度，现随机抽取年龄在20～80岁之间的60人，并按年龄层次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80）绘制频率分布直方图如图所示，其中参与了2014年“行通济”活动的人数如下表．若规定年龄分布在[20，60）岁的为“中青年人”，60岁以上（含60岁）为“老年人”．