Question

12．阅读材料：根据两角和与差的正弦公式，有：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=β　有α=$\frac{A+B}{2}$，β=$\frac{A-B}{2}$代入③得　sinA+sinB=2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$．
（1）利用上述结论，试求sin15°+sin75°的值；
（2）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$．

Answer 1

分析 （1）令A=15°，B=75°，代和可得sin15°+sin75°的值；
（2）由cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ两式相加得：cos（α+β）+cos（α-β）=2cosαcosβ，令α+β=A，α-β=B 有α=$\frac{A+B}{2}$，β=$\frac{A-B}{2}$，可得结论；

解答 解：（1）∵sinA+sinB=2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$，
∴sin15°+cos75°=2sin$\frac{15°+75°}{2}$cos$\frac{15°-75°}{2}$，
=2sin45°•cos（-30°）=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴sin15°+cos75°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
（2）证明：因为cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，------①
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ------②
①+②得cos（α+β）+cos（α-β）=2cosαcosβ，③
令α+β=A，α-β=B 有α=$\frac{15°+75°}{2}$，β=$\frac{15°-75°}{2}$，
代入③得：cosA-cosB=-2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$．
∴cosA-cosB=-2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$．

点评 本题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．