Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝ ，且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x²＋y²＝1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

　(1)因为e＝ ＝＝，

所以a²＝3b²，即椭圆C的方程可写为＋＝1.            (2分)

设P(x，y)为椭圆C上任意给定的一点，

则d＝＝ (－b≤y≤b)．                         (3分)

当－b≤－1，即b≥1，d_max＝＝3得b＝1；

当－b>－1，即b<1，d_max＝＝3得b＝1(舍)．

∴b＝1，a＝，                                                (5分)

故所求椭圆C的方程为＋y²＝1.                             (6分)

(2)存在点M满足要求，使△OAB的面积最大．                  (7分)

假设存在满足条件的点M，因为直线l：mx＋ny＝1与

圆O：x²＋y²＝1相交于不同的两点A，B，

则圆心O到l的距离d＝<1.                            (8分)

因为点M(m，n)在椭圆C上，所以＋n²＝1<m²＋n²，

于是0<m²≤3.

因为|AB|＝2＝2 ，                         (10分)

所以S_△OAB＝·|AB|·d＝

＝＝，

当且仅当1＝m²时等号成立，所以m²＝∈(0,3]．

因此当m＝±，n＝±时等号成立．                     (12分)

所以满足要求的点M的坐标为

此时对应的三角形的面积均达到最大值.