Question

平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.

(1)求M的方程；

(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

解　(1)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P₀(x₀，y₀)，

则

由此可得＝1.

因为P为AB的中点，且OP的斜率为，

所以x₁＋x₂＝2x₀，y₁＋y₂＝2y₀，＝.

所以y₀＝x₀，即y₁＋y₂＝(x₁＋x₂)．

所以a²＝2b²，

又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a²－b²＝3.

所以a²＝6，b²＝3.

所以M的方程为＋＝1.

(2)将x＋y－＝0代入＋＝1，

解得所以可得|AB|＝；

由题意可设直线CD方程为y＝x＋m，

所以设C(x₃，y₃)，D(x₄，y₄)，

将y＝x＋m代入＋＝1得3x²＋4mx＋2m²－6＝0，则|CD|＝＝，

又因为Δ＝16m²－12(2m²－6)>0，即－3<m<3，

所以当m＝0时，|CD|取得最大值4，

所以四边形ACBD面积的最大值为

|AB|·|CD|＝.