Question

设数列{a_2n-1}是公差为2的等差数列，数列{a_2n}是公比为3的等比数列，数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），已知S₃=a₄，a₃+a₅=a₄+2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若当n∈N^*时，不等式2S_2n-na_2n-1＜λa_2n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）把已知条件化为a₁和a₂的等式，联立后求解a₁和a₂，然后分别有等差数列和等比数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用分组求和求出S_2n，结合2S_2n-na_2n-1＜λa_2n恒成立分离参数λ，然后构造辅助函数bn=

n-2

2×3n-1

，由单调性得到b_n的最大值，则实数λ的取值范围可求．

解答： 解：（Ⅰ）由S₃=a₄，得a₁+a₂+a₁+2=3a₂，即a₁+1=a₂  ①
由a₃+a₅=a₄+2，得a₁+2+a₁+4=3a₂+2，即2a₁+4=3a₂  ②
解①②得，a₁=1，a₂=2．
∴an=

n    n为奇数 2×3 n 2 -1    n为偶数

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
S2n=1+3+…+(2n-1)+2+2×3+…+2×3n-1
=

n(1+2n-1)

2

+2×

1-3n

1-3

=n2+3n-1．
∵2S_2n-na_2n-1＜λa_2n恒成立，
∴2（n²+3ⁿ-1）-n（2n-1）＜λ（2×3^n-1），
即2×3ⁿ+n-2＜λ（2×3^n-1）恒成立．
∴λ＞3+

n-2

2×3n-1

恒成立．
令bn=

n-2

2×3n-1

，则bn+1=

n-1

2×3n

，
∴bn+1-bn=

n-1

2×3n

-

n-2

2×3n-1

=

5-2n

2×3n

．
∴当n≥3时，b_n+1-b_n＜0，此时{b_n}单调递减；
当n≤2时，b_n+1-b_n＞0，此时{b_n}单调递增．
∴b₃最大，b3=

1

18

．
∴λ＞

55

18

．

点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，是数列与不等式的综合题，训练了分离变量法，考查了数列的函数特性，是中档题．