Question

15．已知点C在以O为圆心的圆弧AB上运动（含端点）.$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+2y$\overrightarrow{OB}$（x，y∈R），则$\frac{x}{2}+y$的取值范围是（　　）

• A． $[-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
• B． $[\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
• C． $[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$
• D． $[-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{1}{2}]$

Answer 1

分析 以O为原点，OA方向为x轴正方向建立坐标系，分别求出A，B的坐标，进而根据则$\overrightarrow{OC}$=（cosα，sinα），根据正弦函数的性质，即可得到$\frac{x}{2}+y$的取值范围．

解答 解：建立如图所示的坐标系，
可设A（1，0），B（0，1），
设∠AOC=α（0≤α≤$\frac{π}{2}$），
则$\overrightarrow{OC}$=（cosα，sinα）．
由$\overrightarrow{OC}$=（x，2y）=（cosα，sinα），
则$\frac{x}{2}+y$=$\frac{1}{2}$（cosα+sinα）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）（0≤α≤$\frac{π}{2}$），
由$\frac{π}{4}$≤α+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，可得sin（α+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
即有$\frac{x}{2}+y$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
故选：B．

点评 本题考查的知识点是平面向量的综合应用，三角函数的性质，其中建立坐标系，分别求出A，B，C点的坐标，将一个几何问题代数化，是解答本题的关键．