Question

设函数f（x）在R上满足f（1+x）=f（1-x），f（x+2）=-f（2-x）．
（1）求f（2）的值．
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．
（3）若f（1）=

1

2

，试求出f（2014）的值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的判断,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求f（2）的值．
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．
（3）若f（1）=

1

2

，试求出f（2014）的值．

解答： 解：（1）令x=0，则由f（2+x）=-f（2-x），
得f（2）=-f（2），解得f（2）=0．
（2）f（-x）=f[1-（1+x）]=f[1+（1+x）]=f（2+x）=-f（2-x）=-f[1+（1-x）]=-f[1-（1-x）]=-f（x）．
故函数f（x）是奇函数．
（3）f（4+x）=f[2+（2+x）]=-f[2-（2+x）]=-f（-x）=f（x）
 故f（x）是周期为4的周期函数，
则f（2014）=f（503×4+2）=f（2）=0

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数奇偶性和周期性的定义判断函数的性质是解决本题的关键．