Question

（本小题满分12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。

（1）求的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确立其定义域，利用函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合，用导数求解实际问题中的最大值或最小值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点；（2）求函数的极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程，求出函数定义域内的所有根；（4）列表检验在的根左右两侧的符号，如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值.

试题解析：【解析】
（1）因为时，，所以

由（1）可知，该商品每日的销售量，

所以商场每日销售该商品所获得的利润

从而，

于是，当变化时，，的变化情况如下表：

	+	0	-
	单调递增	极大值42	单调递减

 

由表可得，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点；

所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于42

答：当销售价格为4元千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.

考点：导数在生活中的优化问题.