Question

已知函数f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）+2cos²x-1．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及其取得最大值时x的集合；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=

3

4

，A=

π

3

，b=f（

5π

12

），求△ABC的面积．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理,余弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）化简可得解析式f（x）=sin2x，从而由三角函数的图象和性质可求f（x）的最大值及其取得最大值时x的集合；
（Ⅱ）先求b=f（

5π

12

）=

1

2

，从而由正弦定理知sinB=1，即可求B，C的值，即可求出△ABC的面积．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）+2cos²x-1=

2

（

2

2

sin2x-

2

2

cos2x）+cos2x=sin2x，
∴令2x=2kπ+

π

2

，k∈Z可解得x=kπ+

π

4

，k∈Z时，f（x）_max=1．
（Ⅱ）∵b=f（

5π

12

）=sin

5π

6

=

1

2

，
∴由正弦定理知：

a

sinA

=

b

sinB

，即有sinB=

bsinA

a

=

1 2 × 3 2

3 4

=1，
∴B=

π

2

（0＜B＜π），C=π-

π

2

-

π

3

=

π

6

，sinC=

1

2

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×

3

4

×

1

2

×

1

2

=

3

32

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．