Question

17．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为α的直线交抛物线于A、B两点，若S_△ADF=4S_△BOF，O为坐标原点，则sinα=（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 根据S_△AOF=4S_△BOF，得|AF|=4|BF|，$\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{FB}$，求得-y₁=4y₂，设出直线AB的方程，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理求出斜率，即可求出sinα．

解答 解：根据题意设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由S_△AOF=4S_△BOF，得|AF|=4|BF|，$\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{FB}$，得$（{\frac{p}{2}-{x_1}，-{y_1}}）=4（{{x_2}-\frac{p}{2}，{y_2}}）$，
故-y₁=4y₂，即$\frac{y_1}{y_2}=-4$．
设直线AB的方程为$y=k（{x-\frac{p}{2}}）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-\frac{p}{2}}）\\{y^2}=2px\end{array}\right.$消元得ky²-2py-kp²=0．
故${y_1}+{y_2}=\frac{2p}{k}$，${y_1}{y_2}=-{p^2}$．则$\frac{{{{（{{y_1}+{y_2}}）}^2}}}{{{y_1}{y_2}}}=\frac{y_1}{y_2}+\frac{y_2}{y_1}+2=-4-\frac{1}{4}+2=-\frac{9}{4}$，
即$\frac{{{{（{\frac{2p}{k}}）}^2}}}{{-{p^2}}}=-\frac{9}{4}$，得$-\frac{4}{k^2}=-\frac{9}{4}$，解得$k=±\frac{4}{3}$．
所以$tanα=±\frac{4}{3}$．所以$sinα=\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查了抛物线的概念和性质，直线和抛物线的综合问题，考查学生的计算能力，属于中档题．