Question

12．已知直线x-y+3=0与圆O：x²+y²=r²（r＞0）相交于M，N两点，若$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=3$，则圆的半径r=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 本题可以利用方程组得到交点间的坐标关系，然后将向量条件坐标化，得到关于半径的方程，求出半径的值．

解答 解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由直线x-y+3=0与圆O：x²+y²=r²（r＞0）联立，
得：2x²+6x+9-r²=0，
∴x₁+x₂=-3，x₁x₂=$\frac{1}{2}$（9-r²）．
∴y₁y₂=$\frac{1}{2}$（9-r²）．
∵$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=3$，∴$\frac{1}{2}$（9-r²）+$\frac{1}{2}$（9-r²）=3，
∴r=$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了函数方程思想和向量积的坐标运算，计算有一定难度，属于中档题．