Question

5．设ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为的a的正方体，则有（　　）

• A． $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{{C_1}A}={a^2}$
• B． $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=\sqrt{2}{a^2}$
• C． $\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{{A_1}D}={a^2}$
• D． $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{{C_1}{A_1}}={a^2}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，建立空间右手系，求出向量的坐标，代入数量积公式得答案．

解答 解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则$\overrightarrow{AB}=（0，0，a）$，$\overrightarrow{{C}_{1}A}=（a，-a，-a）$，
$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=（-a，a，0）$，$\overrightarrow{BC}=（-a，0，0）$，$\overrightarrow{{A}_{1}D}=（-a，0，-a）$，
$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}=（a，-a，0）$．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{{C}_{1}A}=-{a}^{2}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0$，$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{{A}_{1}D}={a}^{2}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}=0$．
故选：C．

点评 本题考查利用空间向量判断空间两直线的位置关系，关键是建立正确的空间右手系，是基础题．