Question

15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且满足$\frac{2c-b}{a}=\frac{cosB}{cosA}$．
（1）求角A的大小；  
（2）若D为BC上一点，且$\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{DB}，b=3，|{AD}|=\sqrt{21}$，求a．

Answer 1

分析 （1）由题意根据正弦定理求得∴（2sinC-sinB）cosA=sinAcosB，由A=π-（B+C），根据诱导公式及两角和正弦公式，即可求得A的值；
（2）过D作DE∥AB于E，则△ADE中，ED=$\frac{1}{3}$AC=1，∠DEA=$\frac{2π}{3}$，由余弦定理可知△ABC为直角三角形，a=BC=3$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）由$\frac{2c-b}{a}=\frac{cosB}{cosA}$，则（2c-b）cosA=acosB，
由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴（2sinC-sinB）cosA=sinAcosB，
整理得：2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB，
由A=π-（B+C），则sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C），
即2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，
由sinC≠0，则cosC=$\frac{1}{2}$，即A=$\frac{π}{3}$，
∴角A的大小$\frac{π}{3}$； 
（2）过D作DE∥AB于E，则△ADE中，ED=$\frac{1}{3}$AC=1，∠DEA=$\frac{2π}{3}$，
由余弦定理可知AD²=AE²+ED²-2AE•EDcos$\frac{π}{3}$，
又AC=3，A=$\frac{π}{3}$，则△ABC为直角三角形，
∴a=BC=3$\sqrt{3}$，
∴a的值为3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理的即余弦定理的应用，考查两角和的正弦公式，考查计算能力，属于基础题．