Question

已知直线l：cos²θ•x+cos2θ•y-1=0（θ∈R），圆C：x²+y²=1，
（Ⅰ） 求证：无论θ为何值，直线l恒过定点P；
（Ⅱ） 若直线l与圆C的一个公共点为A，过坐标原点O作PA的垂线，垂足为M，求点M的横坐标的取值范围．

Answer 1

考点：恒过定点的直线,直线的一般式方程与直线的垂直关系

专题：直线与圆

分析：（ I）直线l：cos²θ•x+cos2θ•y-1=0利用二倍角公式化为：cos²θ•x+（2cos²θ-1）•y-1=0，即（x+2y）cos²θ-（y+1）=0，令

x+2y=0 -y-1=0

，解得即可；
（ II）设直线l的方程为：y+1=k（x-2），由于直线l与圆C有公共点，可得

|1+2k|

1+k2

≤1，解得-

4

3

≤k≤0．当k=0时，可得x_M=0．k≠0时，直线OM的方程为：y=-

1

k

x，联立解得x_M=

k+2k2

1+k2

=2+

k-2

1+k2

，令g（k）=

k-2

1+k2

，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： （ I）证明：直线l：cos²θ•x+cos2θ•y-1=0化为：cos²θ•x+（2cos²θ-1）•y-1=0，
∴（x+2y）cos²θ-（y+1）=0，
令

x+2y=0 -y-1=0

，解得

x=2 y=-1

，
∴无论θ为何值，直线l恒过定点P（2，-1）；
（ II）设直线l的方程为：y+1=k（x-2），
∵直线l与圆C有公共点，∴

|1+2k|

1+k2

≤1，解得-

4

3

≤k≤0．
当k=0时，可得x_M=0．
k≠0时，直线OM的方程为：y=-

1

k

x，
联立

y+1=k(x-2) y=- 1 k x

，
解得x_M=

k+2k2

1+k2

=2+

k-2

1+k2

，
令g（k）=

k-2

1+k2

，g′（k）=

1+k2-2k(k-2)

(1+k2)2

=

-k2+4k+1

(1+k2)2

，
令g′（k）＞0，解得2-

5

＜k＜0，此时函数g（k）单调递增；令g′（k）＜0，解得-

4

3

≤k＜2-

5

，此时函数g（k）单调递减．
∴当k=2-

5

时，g（k）取得最小值，∴x_M的最小值为：2+

2- 5 -2

1+(2- 5 )2

=

2- 5

2

．
而g（0）=-2，g(-

4

3

)=-

6

5

．
∴x_M的最大值为2-

6

5

=

4

5

．
综上可得点M的横坐标的取值范围为[

2- 5

2

，

4

5

]．

点评：本题考查了直线系的应用、倍角公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值、斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．