Question

8．已知函数f（x）=e^x+ax+b（a，b∈R，e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对一切x∈R，关于x的不等式f（x）≥（m-1）x+n恒成立，求m+n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据导数的几何意义，建立方程关系即可求a，b的值；
（Ⅱ）将不等式恒成立进行转化，构造函数，求函数的导数，利用函数单调性，极值和最值与导数的关系进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=e^x+a，
∵函数f（x）在点（0，1）处的切线与x轴平行，
∴f′（0）=0，
即f′（0）=e⁰+a=1+a=0，则a=-1，
又f（0）=1+b=1，则b=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e^x-x，
则不等式f（x）≥（m-1）x+n恒成立等价为e^x≥mx+n，
即e^x-mx-n≥0，
设g（x）=e^x-mx-n，则g′（x）=e^x-m，
当m≤0时，g′（x）＞0恒成立，则g（x）在R上递增，没有最小值，故不成立，
当m＞0时，由g′（x）=0得x=lnm，
当g′（x）＜0时，得x＜lnm，当g′（x）＞0时，得x＞lnm，
即当x=lnm时，函数取得最小值g（lnm）=e^lnm-mlnm-n=m-mlnm-n≥0，
即m-mlnm≥n，2m-mlnm≥m+n，
令h（m）=2m-mlnm，则h′（m）=1-lnm，
令h′（m）=0得m=e，
当0＜m＜e时，h（m）单调递增，当m＞e时，h（m）单调递减，
故当m=e时，h（m）取得最大值h（e）=e，
∴e≥m+n，
故m+n的最大值为e．

点评 本题主要考查函数的导数，导数的几何意义，单调性，极值最值以及不等式恒成立问题，考查分类讨论，函数与方程等思想方法以及综合运算求解能力．