Question

16．在平面直角坐标系xoy中，圆的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosφ\\ y=2\sqrt{3}+sinφ\end{array}\right.$（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为$\sqrt{3}ρcosθ+3ρsinθ+4\sqrt{3}=0$．
（1）将圆的参数方程化为普通方程，在化为极坐标方程；
（2）若点P在直线l上，当点P到圆的距离最小时，求点P的极坐标．

Answer 1

分析 （1）求出圆的标准方程，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出极坐标方程即可；
（2）求出直线l的直角坐标方程，联立方程组，求出P的坐标，从而求出P的极坐标即可．

解答 解：（1）将圆的参数方程，消去参数φ，
得：（x-2）²+${（y-2\sqrt{3}）}^{2}$=1，
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x-2）²+${（y-2\sqrt{3}）}^{2}$=1，
得圆的极坐标方程是：ρ²-4ρcosθ-4$\sqrt{3}$sinθ+15=0；
（2）由ρcosθ=x，ρsinθ=y知，
直线l的直角坐标方程为：$\sqrt{3}$x+3y+4$\sqrt{3}$=0，其斜率是-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
易得直线l与圆相离，
当点P到圆的距离最小时，则点P与圆心连线与直线l垂直，即其相离是$\sqrt{3}$，
其方程是：y-2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$（x-2），即y=$\sqrt{3}$x，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+3y+4\sqrt{3}=0}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
即点P的直角坐标是（-1，-$\sqrt{3}$），
故P的极坐标是（2，$\frac{4π}{3}$）．

点评 本题考查了极坐标以及直角坐标方程的转化，考查转化思想，是一道中档题．