Question

7．有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法种数：
（1）选其中5人排成一排
（2）全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾
（3）全体排成一排，男生互不相邻
（4）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人．

Answer 1

分析 （1）根据题意，利用排列真假求解可得答案；
（2）根据题意，分2步进行分析，①、安排排头和排尾，②、将剩余的学生进行全排列，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分2步进行分析，①、将4名女生进行全排列，②、排好后有5个空位，在5个空位中任选3个，安排3名男生，由分步计数原理计算可得答案；
（4）根据题意，分3步进行分析，①、先安排甲乙2人，考虑其顺序，②、在剩余的5人中任选3人，排在甲乙2人之间，③、将5人看成一个元素，与剩余的2人进行全排列，由分步计数原理计算可得答案．

解答 解：（1）选其中5人排成一排，有A₇⁵=2520种方法，不同的排列方法共有2520种；
（2）先安排排头与排尾，有A₆²=30种顺序，
将剩余5名学生进行全排列，有A₅⁵=120种方法，
甲不站在排头也不站在排尾的排法有30×120=3600种；
（3）将4名女生进行全排列，有A₄⁴=24种顺序，
排好后有5个空位，在5个空位中任选3个，安排3名男生，有A₅³=60种情况，
则男生互不相邻的排法有24×60=1440种；
（4）先安排甲乙2人，有A₂²=2种方法，
在剩余的5人中任选3人，排在甲乙2人之间，有A₅³=60种情况，
将5人看成一个元素，与剩余的2人进行全排列，有A₃³=6种排法；
则全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人有2×60×6=720种排法．

点评 本题主要考查了排列组合的运用，需要注意常见问题中的处理方法，特殊元素优先安排，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，正难则反，运用排除法．