Question

6．已知等差数列{a_n}的前n和为S_n，公差d≠0．且a₃+S₅=42，a₁，a₄，a₁₃成等比数列
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若S_n表示数列{a_n}的前n项和，求数列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等差数列{a_n}的前n和为S_n，a₃+S₅=42，a₁，a₄，a₁₃成等比数列．可得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d+5{a_1}+\frac{5×4}{2}d=42\\{（{a_1}+3d）^2}={a_1}（{a_1}+12d）\end{array}\right.$，解出即可得出．
（II）由（I）可得：S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n（n+2）．可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．利用裂项求和方法即可得出．

解答 （Ⅰ）解：设数列{a_n}的首项a₁…（1分）
因为等差数列{a_n}的前n和为S_n，a₃+S₅=42，a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
所以$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d+5{a_1}+\frac{5×4}{2}d=42\\{（{a_1}+3d）^2}={a_1}（{a_1}+12d）\end{array}\right.$…（3分）
又公差d≠0所以a₁=3，d=2…（5分）
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n+1…（6分）
（II）由（I）可得：S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n（n+2）．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}$$（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．…（12分）

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．