题目内容
5．给出以下命题：①若a＞b＞0，d＜c＜0，$\frac{{\sqrt{a}}}{c}＜\frac{{\sqrt{b}}}{d}$；
②如果p1•p2≥4$\sqrt{{q_1}{q_2}}$，则关于x的实系数二次方程x2+p1x+q1=0，x2+p2x+q2=0中至少有一个方程有实根；
③若x≠kπ，k∈Z，则sinx+$\frac{1}{sinx}$≥2；
④当x∈（0，2]时，f（x）=x-$\frac{1}{x}$无最大值．
其中真命题的序号是（ ）
| A． | ①② | B． | ②③ | C． | ①②③ | D． | ①③④ |
分析 逐项判断4个命题的正误．①利用不等式的基本性质即可求解；②正确理解“至少一个”．可从反面来求，易得；③注意基本不等式的前提，即可判断；④由已知函数的单调性易得．
解答 解：①∵a＞b＞0，∴$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$，
又d＜c＜0，∴$\frac{1}{d}＜0，\frac{1}{c}＜0$且$\frac{1}{d}＞\frac{1}{c}$，
∴$-\frac{1}{c}＞-\frac{1}{d}＞0$，
∴$\sqrt{a}•（-\frac{1}{c}）＞\sqrt{b}•（-\frac{1}{d}）$，
∴$\frac{\sqrt{a}}{c}＜\frac{\sqrt{b}}{d}$，故①正确；
②命题的逆否命题为：若两个方程都无实根，则${{p}_{1}p}_{2}＜4\sqrt{{{q}_{1}q}_{2}}$，
若两个方程都无实根，则有$\left\{\begin{array}{l}{{△}_{1}{{=p}_{1}}^{2}-{4q}_{1}＜0}\\{{△}_{2}{{=p}_{2}}^{2}-{4q}_{2}＜0}\end{array}\right.$，
∴${{p}_{1}}^{2}＜{4q}_{1}$，${{q}_{2}}^{2}＜{4q}_{2}$，∴${{p}_{1}}^{2}{{•p}_{2}}^{2}＜1{{6q}_{1}q}_{2}$，∴${{p}_{1}p}_{2}＜4\sqrt{{{q}_{1}q}_{2}}$，故其逆命题正确，所以原命题正确，即②正确；
③取$x=-\frac{π}{2}$≠kπ，此时$sinx+\frac{1}{sinx}=-2＜2$，故③错误；
④∵函数$f（x）=x-\frac{1}{x}$在（0，2]上是增函数，所以函数在（0，2]上有最大值f（2）=$\frac{3}{2}$，故④错误．
综上可知，①②正确故选A．
点评 本题主要考查不等式性质，基本不等式和函数的单调性．属于易错题．
| A． | 0 | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | 1 | D． | 2 |