Question

10．已知点A（1，0）在矩阵M=$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{b}&{0}\end{array}]$（b＞0）对应的变换下得到点P，若△POA的面积为$\sqrt{3}$（O为坐标原点），∠POA=60°，求a，b的值，并写出M的逆矩阵．

Answer 1

分析 利用矩阵的乘法求出P，利用△POA的面积为$\sqrt{3}$（O为坐标原点），∠POA=60°，b＞0，求出a，b，即可写出M的逆矩阵．

解答 解：由题意，得$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{b}&{0}\end{array}][\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]=[\begin{array}{l}{a}\\{b}\end{array}]$，所以点P的坐标为P（a，b）．
因为△POA的面积为$\sqrt{3}$（O为坐标原点），∠POA=60°，b＞0，
所以b=$\sqrt{3}$a，①$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$×sin60°=$\sqrt{3}$，②
解得a=2，b=2$\sqrt{3}$．…（6分）
所以M=$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{\sqrt{3}}&{0}\end{array}]$．
因为|M|=-$\sqrt{3}$
所以M=$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{\sqrt{3}}&{0}\end{array}]$的逆矩阵为$[\begin{array}{l}{0}&{\frac{1}{2\sqrt{3}}}\\{1}&{-\frac{1}{\sqrt{3}}}\end{array}]$．

点评 本题考查矩阵的乘法，考查逆矩阵，考查学生的计算能力，属于中档题．