Question

15．过抛物线x²=2py（p＞0且为常数）的焦点F作斜率为1的直线，交抛物线于A，B两点，求证：线段AB的长为定值．

Answer 1

分析 直线l的方程为：$y=x+\frac{p}{2}$与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式即可得出．

解答 证明：直线l的方程为：$y=x+\frac{p}{2}$…（2分）
联立方程组$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+\frac{p}{2}}\\{{x^2}=2py}\end{array}}\right.$得：${y^2}-3py+\frac{p^2}{4}=0$…（8分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由韦达定理知y₁+y₂=3p…（12分）
所以AB=AF+BF=y₁+y₂+p=4p为定值…（16分）

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．