Question

11．定义在[-1，1]上的奇函数f（x）满足当0＜x≤1时，f（x）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$，
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）判断并证明f（x）在[-1，0）上的单调性；
（3））当x∈（0，1]时，方程$\frac{2^x}{f（x）}$-2^x-m=0有解，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性求出f（x）的解析式即可；（2）根据函数单调性的定义证明即可；（3）问题转化为m=4^x+1-2^x在（0，1]上有解，令2^x=t，t∈（1，2]，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）设x∈[-1，0），则-x∈（0，1]，
f（-x）=$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+1}$=$\frac{{2}^{x}}{1{+4}^{x}}$，
∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-$\frac{{2}^{x}}{1{+4}^{x}}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{x}}{1{+4}^{x}}，x∈（0，1]}\\{0，x=0}\\{-\frac{{2}^{x}}{1{+4}^{x}}，x∈[-1，0）}\end{array}\right.$；
（2）设-1＜x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=-$\frac{{2}^{{x}_{1}}}{1{+4}^{{x}_{1}}}$+$\frac{{2}^{{x}_{2}}}{1{+4}^{{x}_{2}}}$=$\frac{{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）{（2}^{{{x}_{1}+x}_{2}}-1）}{（1{+4}^{{x}_{1}}）（1{+4}^{{x}_{2}}）}$，
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，-2＜x₁+x₂＜0，
∴${2}^{{x}_{1}{+x}_{2}}$-1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在[-1，0）递减；
（3）方程$\frac{2^x}{f（x）}$-2^x-m=0有解，
即m=4^x+1-2^x在（0，1]上有解，
令2^x=t，t∈（1，2]，
t²-t+1∈（1，3]，
∴m∈（1，3]．

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性的证明以及转化思想，是一道中档题．