Question

14．已知函数f（x）=|log₂x|，g（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{0，0＜x≤1}\\{\frac{1}{8}|{{x^2}-9}|，x＞1}\end{array}}$，若方程f（x）-g（x）=1在[a，+∞）上有三个实根，则正实数a的取值范围为（0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 将方程f（x）-g（x）=1有三个实根转化为函数y=f（x）-1与y=g（x）的图象有三个交点，画出两个函数的图象，然后根据图象确定a的取值范围

解答 ∵f（x）-g（x）=1在[a，+∞）上有三个实根
∴f（x）-1=g（x）在[a，+∞）上有三个实根
∴函数y=f（x）-1与y=g（x）的图象在x∈[a，+∞）上有三个交点
作出y=f（x）-1和y=g（x）的图象

从图象可知，0＜x_A＜1，y_A=0；x_B＞1，x_C＞1
令f（x）-1=|log₂x|-1=0，得x=$\frac{1}{2}$，或x=2，故${x}_{A}=\frac{1}{2}$
∴$a≤\frac{1}{2}$
又∵a为正实数
∴$0＜a≤\frac{1}{2}$，
故答案为：$（0，\frac{1}{2}]$

点评 本题考查了方程根的个数问题以及分段函数的图象，将方程根的个数转化为两函数图象交点的个数，从而利用数形结合思想求出a的取值范围，属于基础题．