题目内容
4．定义在[0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的x≥0，恒有f′（x）＞f（x），a=$\frac{f（2）}{{e}^{2}}$，b=$\frac{f（3）}{{e}^{3}}$，则a，b的大小关系是（ ）| A． | a＞b | B． | a＜b | C． | a=b | D． | 无法确定 |
分析 构造新函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，研究其单调性即可．
解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{f′（x{）e}^{x}-f（x{）e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵对任意x≥0，恒有f（x）＜f′（x），ex＞0，
∴g′（x）＞0，即g（x）是在定义域上是增函数，
所以g（3）＞g（2），即b＞a，
故选：B
点评 本题考查函数的单调性，构造新函数是解决本题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
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9．定义在R上的函数f（x）满足（x-1）f′（x）≤0（f′（x）是f（x）的导函数），且y=f（x）的图象关于直线x=1对称，当|x1-1|＜|x2-1|时，恒有（ ）
| A． | f（2-x1）≥f（2-x2） | B． | f（2-x1）=f（2-x2） | C． | f（2-x1）＜f（2-x2） | D． | f（2-x1）≤f（2-x2） |
16．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2-x），且当x≠1时，有（x-1）•f′（x）＜0，设a=f（tan$\frac{5}{4}$π），b=f（log32），c=f（0.2-3），则（ ）
| A． | a＜b＜c | B． | c＜a＜b | C． | b＜c＜a | D． | c＜b＜a |