Question

2．已知常数m≠0，n≥2且n∈N，二项式（1+mx）ⁿ的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，第三项系数是第二项系数的9倍．
（1）求m、n的值；
（2）若记（1+mx）ⁿ=a₀+a₁（x+8）+a₂（x+8）²+…+a_n（x+8）ⁿ，求a₀-a₁+a₂-a₃+…+（-1）ⁿa_n除以6的余数．

Answer 1

分析 （1）利用二项式系数的性质求得n=10，再根据第三项系数是第二项系数的9倍，求得m的值．
（2）令x=-9，可得a₀-a₁+a₂-a₃+…+（-1）ⁿa_n=（18-1）¹⁰，再把它按照二项式定理展开，求得它除以6的余数．

解答 解：（1）∵（1+mx）ⁿ的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，
∴展开式共有11项，故n=10．
在（1+mx）¹⁰展开式中，第r+1项为${T_{r+1}}=C_{10}^r{（mx）^r}={m^r}C_{10}^r{x^r}（r=0，1，…，10）$，
∴第二项系数为$mC_{10}^1=10m$，第三项系数${m^2}C_{10}^2=45{m^2}$，
∴45m²=90m，∴m=2（m=0舍）．
（2）在${（1+mx）^n}={a_0}+{a_1}（x+8）+{a_2}{（x+8）^2}+…+{a_k}{（x+8）^k}+…{a_n}{（x+8）^n}$中，
令x=-9，得：${a_0}-{a_1}+{a_2}-{a_3}+…+{（-1）^n}{a_n}$=（1-9m）ⁿ
=（1-9×2）¹⁰=（-17）¹⁰=17¹⁰=（18-1）¹⁰
=$C_{10}^0×{18^{10}}×{（-1）^0}+C_{10}^1×{18^9}×{（-1）^1}+…+C_{10}^9×{18^1}×{（-1）^9}+C_{10}^{10}×{18^0}×{（-1）^{10}}$
=$18[C_{10}^0×{18^9}×{（-1）^0}+C_{10}^1×{18^8}×{（-1）^1}+…+C_{10}^9×{（-1）^9}]+1$
=$6×3[C_{10}^0×{18^9}×{（-1）^0}+C_{10}^1×{18^8}×{（-1）^1}+…+C_{10}^9×{（-1）^9}]+1$，
∵$3[C_{10}^0×{18^9}×{（-1）^0}+C_{10}^1×{18^8}×{（-1）^1}+…+C_{10}^9×{（-1）^9}]∈Z$，
∴a₀-a₁+a₂-a₃+…+（-1）ⁿa_n除以6的余数为1．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．