Question

（本小题满分13分）
已知数列满足：，
（I）                   求得值；
（II）                 设，试求数列的通项公式；
（III）    对任意的正整数，试讨论与的大小关系。

Answer 1

（Ⅰ）5，5，8（Ⅱ）（III）

（Ⅰ）∵，，，，
∴；；.   ………………3分
（Ⅱ）由题设，对于任意的正整数，都有：，
∴.∴数列是以为首项，为公差的等差数列.
∴.       …………………………………………………………7分
（Ⅲ）对于任意的正整数，
当或时，；
当时，；
当时，.      ……………………………………8分
证明如下：
首先，由可知时，；
其次，对于任意的正整数，
时，；
…………………9分
时，

所以，.                                              …………………10分
时，

事实上，我们可以证明：对于任意正整数，（*）（证明见后），所以，此时，.
综上可知：结论得证.                                                             …………………12分
对于任意正整数，（*）的证明如下：
1）当（）时，
，
满足（＊）式。
2）当时，，满足（＊）式。
3）当时，

于是，只须证明，如此递推，可归结为1）或2）的情形，于是（＊）得证.
…………………14分