Question

已知数列满足,且对一切有,其中, 
(Ⅰ)求证对一切有，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前项和;
（Ⅲ）求证. 

Answer 1

（Ⅰ）{ a_n}成等差数列，首项a₁=1，公差d=1，故a_n=n；
（Ⅱ）；（Ⅲ）同解析。

(Ⅰ)由ni=1=S_n²，    (1)        由n＋1i=1=S_n＋1²，       (2)
(2)－(1)，得=(S_n+1+S_n)(S_n+1－S_n)=(2 S_n+a_n+1) a_n+1．
∵ a_n+1 >0，∴a_n＋1²－=2S_n．           
由a_n＋1²－=2S_n，及a_n²－a_n =2S_n－1 (n≥2)，
两式相减，得(a_n+1+ a_n)( a_n+1－a_n)= a_n+1+ a_n．
∵a_n+1+ a_n >0，∴a_n+1－a_n =1(n≥2)        
当n=1,2时，易得a₁=1，a₂=2，∴a_n+1－ a_n =1(n≥1)．
∴{ a_n}成等差数列，首项a₁=1，公差d=1，故a_n=n．
（Ⅱ）由，得。所以，
当时，；
当时，
，

即
（Ⅲ）nk=1=nk=1＜1＋nk=2 
＜１＋nk=2=
=1＋nk=2 (－)       
=1＋1＋－－＜2＋＜3.