Question

13．（1）写出两个平面向量的夹角的定义和两个平面向量数量积的定义；
（2）写出两角差得余弦公式并给出证明．

Answer 1

分析 （1）利用《必修四》课本中的定义即可得出．
（2）在直角坐标系xoy中，作单位圆O，以Ox为始边做角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于点A，B．则$\overrightarrow{OA}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{OB}$=（cosβ，sinβ）．则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=cosαcosβ+sinαsinβ．设$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为θ，利用定义可得：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=cosθ．另一方面：由图可知：α-β=2kπ±θ，k∈Z．可得cos（α-β）=cosθ．即可证明．

解答 解：（1）①两个平面向量的夹角的定义：已知两个非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，作$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．
当θ=0°时，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$同向；当θ=180°时，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$反向．
②两个平面向量数量积的定义：已知两个非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，我们把数量$|\overrightarrow{a}|$$|\overrightarrow{b}|$cosθ叫做向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的数量积，记作$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$|\overrightarrow{a}|$$|\overrightarrow{b}|$cosθ．
其中θ叫做$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．
（2）两角差得余弦公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
下面给出证明：
在直角坐标系xoy中，作单位圆O，以Ox为始边做角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于点A，B．则$\overrightarrow{OA}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{OB}$=（cosβ，sinβ）．
则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=cosαcosβ+sinαsinβ．
设$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为θ，
则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|$cosθ=cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ．
另一方面：由图可知：α=2kπ+β±θ，∴α-β=2kπ±θ，k∈Z．
∴cos（α-β）=cosθ．
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

点评 本题考查了两个平面向量的夹角的定义、两个平面向量数量积的定义、两角差得余弦公式及其证明、向量数量积的定义及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．