Question

5．定义在[-1，1]上的奇函数f（x）满足当-1≤x＜0时，f（x）=-$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$，
（Ⅰ）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（Ⅱ）判断并证明f（x）在（0，1]上的单调性；
（Ⅲ）当x∈（0，1]时，函数g（x）=$\frac{2^x}{f（x）}-{2^x}$-m有零点，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可知f（0）=0，再设0＜x≤1，则-1≤-x＜0，从而得到f（x）=-f（-x）=-（-$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+1}$）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$，从而解得；
（Ⅱ）先判断f（x）在（0，1]上为减函数，再由复合函数的单调性证明即可．
（Ⅲ）可化为m=4^x+1-2^x=（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，从而求实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）在[-1，1]上的奇函数，
∴f（0）=0，
设0＜x≤1，则-1≤-x＜0，
故f（x）=-f（-x）=-（-$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+1}$）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$，
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}，-1≤x＜0}\\{0，x=0}\\{\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}，0＜x≤1}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）f（x）在（0，1]上为减函数，证明如下，
∵f（x）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$=$\frac{1}{{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}}$，
且y=2^x在（0，1]上是增函数，y=x+$\frac{1}{x}$在（1，2]上是增函数，
y=$\frac{1}{x}$在（2，$\frac{5}{2}$]上是减函数；
∴由复合函数的单调性可知，
f（x）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$（0，1]上为减函数．
（Ⅲ）当x∈（0，1]时，函数g（x）=$\frac{2^x}{f（x）}-{2^x}$-m=4^x+1-2^x-m，
故m=4^x+1-2^x=（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∵x∈（0，1]，∴2^x∈（1，2]，
∴1＜4^x+1-2^x≤13，
故实数m的取值范围为（1，13]．

点评 本题考查了函数的单调性的判断与应用，同时考查了函数的奇偶性的应用．