Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当a＝1时，写出的单调递增区间（不需写出推证过程）；

（Ⅱ）当x＞0时，若直线y＝4与函数的图像交于A，B两点，记，求的最大值；

（Ⅲ）若关于x的方程在区间（1，2）上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）递增区间为； （2）4； （3）.

【解析】

（Ⅰ）当时，，由此能求出的单调递增区间;

（Ⅱ）由，得当时，y=f（x）的图象与直线y=4没有交点；当a=4或a=0时，y=f（x）的图象与直线y=4只有一个交点；当时，；当时，由，得，由，得，由此能求出的最大值;

（Ⅲ）要使关于x的方程有两个不同的实数根，则，且，根据，且进行分类讨论能求出的取值范围．

（Ⅰ）f（x）的单调递增区间为.

（Ⅱ）因为x＞0，所以（i）当a＞4时，y＝f（x）的图像与直线y＝4没有交点；

（ii）当a＝4或a＝0时，y＝f（x）的图像与直线y＝4只有一个交点；

（iii）当0＜a＜4时，0＜g（a）＜4；

(iv)当a＜0时，由

得,

解得；

由，

得

解得.

所以.

故的最大值是4.

（Ⅲ）要使关于x的方程 （*）

有两个不同的实数根，则.

（i）当a＞1时，由（*）得，

所以，不符合题意；

（ii）当0＜a＜4时，由（*）得，其对称轴，不符合题意；

（iii）当a＜0，且a－1时，由（*）得，

又因，所以a＜－1.

所以函数在是增函数，

要使直线与函数图像在（1，2）内有两个交点，

则，

只需

解得.

综上所述，a的取值范围为.