Question

【题目】记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令

（Ⅰ）若，请写出的值；

（Ⅱ）求证:“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充要条件；

（Ⅲ）若 ，求证:存在，使得，有

Answer 1

【答案】（1），，，； （2）见解析； (3)见解析.

【解析】

（Ⅰ）分别计算出，，，结合题意即可得的值；（Ⅱ）先证必要性，无论为何值始终有，即可证得结果，再证充分性，当数列是等差数列时，设其公差为，根据等差数列的定义化简可得，进而可证得是单调数列，始终可得，进而得最后结论；（Ⅲ）利用反证法，由或者可得，，化简可得，即，对利用累加法，可得与题意矛盾，即得结论.

（Ⅰ）因为，所以，，，

所以，，，

（Ⅱ）（必要性）当数列是等差数列时，设其公差为d

当时，，所以，所以，，

当，，所以，所以，

当是，，所以，所以，

综上，总有

所以 ，所以数列是等差数列

（充分性）当数列是等差数列时，设其公差为

因为，

根据，的定义，有以下结论：

，，且两个不等式中至少有个取等号

当，则必有，所以，

所以是一个单调递增数列，所以，，

所以

所以，即为等差数列

当时，则必有，所以

所以是一个单调递减数列，所以，，

所以

所以，即为等差数列

当，

因为，中必有一个为0，

根据上式，一个为0，则另一个亦为0，

所以，，所以为常数数列，所以为等差数列

综上，结论得证.

（Ⅲ）假设结论不成立.

因为，即或者，

所以对任意，一定存在，使得，符号相反

所以在数列中存在，，，……，，……，其中

且 ，

，

因为，即，

注意，，且有且仅有一个等号成立，

所以必有 ，

所以，所以

因为，所以，所以

所以

所以

所以

……

所以

所以

所以，

这与矛盾，所以假设错误，

所以存在，使得，有.