Question

9．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}+t\\ y=1-2t\end{array}$（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=1．
（Ⅰ）求直线l与圆C的公共点的个数；
（Ⅱ）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}x'=x\\ y'=2y\end{array}$得到曲线Ω，设M（x，y）为曲线Ω上任意一点，求4x²+xy+y²的最大值，并求出此时点M的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由代入法可得直线l的普通方程；由ρ=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$可得曲线C的直角坐标方程，再由圆心到直线的距离公式判断d与r的关系，即可得到公共点的个数；
（Ⅱ）由题意可得曲线Ω的方程：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.（θ为参数）$，代入4x²+xy+y²，运用同角的平方关系和二倍角正弦公式，结合正弦函数的值域即可得到所求最大值及M的坐标．

解答 解：（Ⅰ）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}+t\\ y=1-2t\end{array}$（t为参数方程），
即为直线l的方程为$2x+y=2\sqrt{2}+1$，由圆C的极坐标方程为ρ=1，
可得圆C的方程是x²+y²=1．
圆心（0，0）到直线l的距离为$d=\frac{{|{0-0-2\sqrt{2}-1}|}}{{\sqrt{4+1}}}＞1$，
所以直线l与圆的公共点个数为0个．
（Ⅱ）圆C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（0≤θ＜2π），
所以曲线Ω的方程：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.（θ为参数）$，
则4x²+xy+y²=4cos²θ+cosθ•2sinθ+4sin²θ=4+sin2θ，
所以$θ=\frac{π}{4}或θ=\frac{5π}{4}$时，4x²+xy+y²取得最大值5，
此时M的坐标为$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}）或（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\sqrt{2}）$．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线和圆的位置关系的判断，同时考查参数方程的运用和三角函数的恒等变换，以及正弦函数的值域，考查化简整理的运算能力，属于中档题．