Question

19．已知函数f（x）=lnx
（Ⅰ）求函数$F（x）=\frac{f（x）}{x}+\frac{1}{2}$的最大值．
（Ⅱ）证明：$\frac{f（x）}{x}+\frac{1}{2}＜x-f（x）$；
（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的$m∈[{0，\frac{3}{2}}]，x∈[{1，{e^2}}]$都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；
（Ⅱ）令h（x）=x-f（x），求出h（x）的导数，得到函数的单调区间，求出h（x）的最小值，结合F（x）的最大值，从而证出结论即可；
（Ⅲ）利用参数分离法，转化为以m为变量的函数关系进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）F（x）=$\frac{f（x）}{x}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$，F′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令F′（x）＞0，解得：x＜e，令F′（x）＜0，解得：x＞e，
∴F（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
故F（x）_max=$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{2}$；
证明：（Ⅱ）令h（x）=x-f（x），则h′（x）=$\frac{x-1}{x}$，
从而h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴h（x）的最小值是h（1）=1，
又F（x）的最大值是$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{2}$＜1，
∴F（x）＜h（x），
即$\frac{f（x）}{x}$+$\frac{1}{2}$＜x-f（x）；
解：（Ⅲ）不等式mf（x）≥a+x对所有的m∈[0，$\frac{3}{2}$]，x∈[1，e²]都成立，
则a≤mlnx-x对所有的m∈[0，$\frac{3}{2}$]，x∈[1，e2]都成立，
令H（x）=mlnx-x，m∈[0，$\frac{3}{2}$]，x∈[1，e2]是关于m的一次函数，
∵x∈[1，e²]，
∴lnx∈[0，2]，
∴当m=0时，H（m）取得最小值-x，
即a≤-x，当x∈[1，e²]时，恒成立，
故a≤-e²．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，以及不等式恒成立问题，根据条件构造函数，求出函数的单调性和最值是解决本题的关键．